Matemática básica Ejemplos

$\frac{1}{{(3 - 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Usa el teorema del binomio.

$\frac{1}{3^{3} + 3 \cdot 3^{2} (- 2 \sqrt{2}) + 3 \cdot 3 {(- 2 \sqrt{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 1.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{27 + 3 \cdot 3^{2} (- 2 \sqrt{2}) + 3 \cdot 3 {(- 2 \sqrt{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 1.2.2

Multiplica $3$ por $3^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.2.1

Multiplica $3$ por $3^{2}$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{27 + 3^{1} \cdot 3^{2} (- 2 \sqrt{2}) + 3 \cdot 3 {(- 2 \sqrt{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 1.2.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{27 + 3^{1 + 2} (- 2 \sqrt{2}) + 3 \cdot 3 {(- 2 \sqrt{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 1.2.2.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{1}{27 + 3^{3} (- 2 \sqrt{2}) + 3 \cdot 3 {(- 2 \sqrt{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 1.2.3

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{27 + 27 (- 2 \sqrt{2}) + 3 \cdot 3 {(- 2 \sqrt{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 1.2.4

Multiplica $- 2$ por $27$ .

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 3 \cdot 3 {(- 2 \sqrt{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 1.2.5

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 9 {(- 2 \sqrt{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 1.2.6

Aplica la regla del producto a $- 2 \sqrt{2}$ .

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 9 ({(- 2)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 1.2.7

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 9 (4 {\sqrt{2}}^{2}) + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 1.2.8

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 1.2.8.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 9 (4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 1.2.8.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 9 (4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 1.2.8.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 9 (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}) + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 1.2.8.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.8.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 9 (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}) + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 1.2.8.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 9 (4 \cdot 2^{1}) + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 1.2.8.5

Evalúa el exponente.

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 9 (4 \cdot 2) + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 1.2.9

Multiplica $9 (4 \cdot 2)$ .

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Paso 1.2.9.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 9 \cdot 8 + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 1.2.9.2

Multiplica $9$ por $8$ .

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 72 + {(- 2 \sqrt{2})}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 1.2.10

Aplica la regla del producto a $- 2 \sqrt{2}$ .

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 72 + {(- 2)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 1.2.11

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 72 - 8 {\sqrt{2}}^{3}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 1.2.12

Reescribe ${\sqrt{2}}^{3}$ como $\sqrt{2^{3}}$ .

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 72 - 8 \sqrt{2^{3}}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 1.2.13

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 72 - 8 \sqrt{8}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 1.2.14

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 1.2.14.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 72 - 8 \sqrt{4 (2)}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 1.2.14.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 72 - 8 \sqrt{2^{2} \cdot 2}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 1.2.15

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 72 - 8 (2 \sqrt{2})} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 1.2.16

Multiplica $2$ por $- 8$ .

$\frac{1}{27 - 54 \sqrt{2} + 72 - 16 \sqrt{2}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 1.3

Suma $27$ y $72$ .

$\frac{1}{99 - 54 \sqrt{2} - 16 \sqrt{2}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 1.4

Resta $16 \sqrt{2}$ de $- 54 \sqrt{2}$ .

$\frac{1}{99 - 70 \sqrt{2}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 1.5

Multiplica $\frac{1}{99 - 70 \sqrt{2}}$ por $\frac{99 + 70 \sqrt{2}}{99 + 70 \sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{99 - 70 \sqrt{2}} \cdot \frac{99 + 70 \sqrt{2}}{99 + 70 \sqrt{2}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 1.6

Multiplica $\frac{1}{99 - 70 \sqrt{2}}$ por $\frac{99 + 70 \sqrt{2}}{99 + 70 \sqrt{2}}$ .

$\frac{99 + 70 \sqrt{2}}{(99 - 70 \sqrt{2}) (99 + 70 \sqrt{2})} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 1.7

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{99 + 70 \sqrt{2}}{9801 + 6930 \sqrt{2} - 6930 \sqrt{2} - 4900 {\sqrt{2}}^{2}} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 1.8

Simplifica.

$\frac{99 + 70 \sqrt{2}}{1} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 1.9

Divide $99 + 70 \sqrt{2}$ por $1$ .

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{{(3 + 2 \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 1.10

Usa el teorema del binomio.

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{3^{3} + 3 \cdot 3^{2} (2 \sqrt{2}) + 3 \cdot 3 {(2 \sqrt{2})}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 1.11

Simplifica cada término.

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Paso 1.11.1

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 3 \cdot 3^{2} (2 \sqrt{2}) + 3 \cdot 3 {(2 \sqrt{2})}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 1.11.2

Multiplica $3$ por $3^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.11.2.1

Multiplica $3$ por $3^{2}$ .

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Paso 1.11.2.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $1$ .

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 3^{1} \cdot 3^{2} (2 \sqrt{2}) + 3 \cdot 3 {(2 \sqrt{2})}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 1.11.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 3^{1 + 2} (2 \sqrt{2}) + 3 \cdot 3 {(2 \sqrt{2})}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 1.11.2.2

Suma $1$ y $2$ .

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 3^{3} (2 \sqrt{2}) + 3 \cdot 3 {(2 \sqrt{2})}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 1.11.3

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 27 (2 \sqrt{2}) + 3 \cdot 3 {(2 \sqrt{2})}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 1.11.4

Multiplica $2$ por $27$ .

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 3 \cdot 3 {(2 \sqrt{2})}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 1.11.5

Multiplica $3$ por $3$ .

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 9 {(2 \sqrt{2})}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 1.11.6

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{2}$ .

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 9 (2^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 1.11.7

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 9 (4 {\sqrt{2}}^{2}) + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 1.11.8

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 1.11.8.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 9 (4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 1.11.8.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 9 (4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 1.11.8.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 9 (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}) + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 1.11.8.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.11.8.4.1

Cancela el factor común.

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 9 (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}) + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 1.11.8.4.2

Reescribe la expresión.

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 9 (4 \cdot 2^{1}) + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 1.11.8.5

Evalúa el exponente.

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 9 (4 \cdot 2) + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 1.11.9

Multiplica $9 (4 \cdot 2)$ .

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Paso 1.11.9.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 9 \cdot 8 + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 1.11.9.2

Multiplica $9$ por $8$ .

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 72 + {(2 \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 1.11.10

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{2}$ .

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 72 + 2^{3} {\sqrt{2}}^{3}}$

Paso 1.11.11

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 72 + 8 {\sqrt{2}}^{3}}$

Paso 1.11.12

Reescribe ${\sqrt{2}}^{3}$ como $\sqrt{2^{3}}$ .

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 72 + 8 \sqrt{2^{3}}}$

Paso 1.11.13

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 72 + 8 \sqrt{8}}$

Paso 1.11.14

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 1.11.14.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 72 + 8 \sqrt{4 (2)}}$

Paso 1.11.14.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 72 + 8 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Paso 1.11.15

Retira los términos de abajo del radical.

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 72 + 8 (2 \sqrt{2})}$

Paso 1.11.16

Multiplica $2$ por $8$ .

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{27 + 54 \sqrt{2} + 72 + 16 \sqrt{2}}$

Paso 1.12

Suma $27$ y $72$ .

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{99 + 54 \sqrt{2} + 16 \sqrt{2}}$

Paso 1.13

Suma $54 \sqrt{2}$ y $16 \sqrt{2}$ .

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{99 + 70 \sqrt{2}}$

Paso 1.14

Multiplica $\frac{1}{99 + 70 \sqrt{2}}$ por $\frac{99 - 70 \sqrt{2}}{99 - 70 \sqrt{2}}$ .

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{1}{99 + 70 \sqrt{2}} \cdot \frac{99 - 70 \sqrt{2}}{99 - 70 \sqrt{2}}$

Paso 1.15

Multiplica $\frac{1}{99 + 70 \sqrt{2}}$ por $\frac{99 - 70 \sqrt{2}}{99 - 70 \sqrt{2}}$ .

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{99 - 70 \sqrt{2}}{(99 + 70 \sqrt{2}) (99 - 70 \sqrt{2})}$

Paso 1.16

Expande el denominador con el método PEIU.

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{99 - 70 \sqrt{2}}{9801 - 6930 \sqrt{2} + 6930 \sqrt{2} - 4900 {\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 1.17

Simplifica.

$99 + 70 \sqrt{2} + \frac{99 - 70 \sqrt{2}}{1}$

Paso 1.18

Divide $99 - 70 \sqrt{2}$ por $1$ .

$99 + 70 \sqrt{2} + 99 - 70 \sqrt{2}$

Paso 2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.1

Suma $99$ y $99$ .

$198 + 70 \sqrt{2} - 70 \sqrt{2}$

Paso 2.2

Resta $70 \sqrt{2}$ de $70 \sqrt{2}$ .

$198 + 0$

Paso 2.3

Suma $198$ y $0$ .

$198$